从微分学三大中值定理的教学探讨备课与上课的要求

[摘要] 《数学分析》是数学专业学生的专业基础课。通过对《数学分析》内容的教学,提出对教师的备课和上课两个主要环节的要求。通过分析《数学分析》中微分学三大中值定理之间内在的、本质的联系,揭示教师对教材必须有全面的理解;通过分析Rolle中值定理的三个重要条件,来揭示教师必须对教材有深刻的理解;通过分析Lagrange中值定理的证明过程,要求教师上课必须做到思路清晰;最后,通过书写Cauchy中值定理的证明过程,要求老师板书过程必须条理清楚。

[关键词] 数学分析 Rolle中值定理 Lagrange中值定理 Cauchy中值定理

一、备课

教师自己对教材必须要有一个全面的、深刻的理解。所谓“全面”,就是要精通所任课的总体脉络,甚至于与其他课程之间的联系与区别。例如,《数学分析》这门课程,是为了创立黎曼积分而建立起来的一整套理论体系。首先,要让学生了解它的发展背景,这就需要对数学发展史有一定的了解,这也是增加数学涵养的一方面。另外,《数学分析》与其他课程有什么联系和区别呢?比如,与《高等数学》,有人认为它们是同一门课程,回答是否定的。虽然内容是大部分是相同的,但也有很大的区别。《数学分析》偏重于理论、偏重于证明、偏重于基础,也就是不但要知其然,更要知其所以然。因此,比较适合于数学专业的学生学习,而《高等数学》则更注重应用,更偏重于计算,因此,较适合于工科类、经济类学生学习。再比如,《数学分析》与《实变函数》又有什么关系呢?可以认为后者是前者的后继课程,随着科学技术的发展,《数学分析》中建立的黎曼积分有一定的局限性,有些函数按照黎曼积分定义不可积,这时就迫切需要找到一种更优越的积分,我们期望它既与黎曼积分具有一致性,但又比黎曼积分应用更广泛。能否找到呢?这就是勒贝格所创立的勒贝格积分理论体系,这也是《实变函数》的主题内容。另一方面,就某一课程的内容而言,也要全面的理解其内在联系。例如,《数学分析》中微分学三大中值定理成立的条件、结论以及它们之间到底有什么样的联系和区别呢?它们有哪些方面的应用等。例如,必须理解三大中值定理是沟通了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点的微观的、局部的性质之间的一座桥梁。三个中值定理之间也存在着必然的联系即Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广,Cauchy中值定理又是Lagrange中值定理的推广。

全面理解掌握一门课程的主题思想,让学生理解并掌握,一方面,可以激发学生对数学学习的兴趣,便于学生形成知识的网络结构,从而容易理解,不易忘却。另一方面,可以使学生提高数学素养,增强对数学的理解。数学做题固然重要,但一定要避免一味地做题,陷入题海,而对课程的总体脉络根本不了解。这样就会导致“只见树木,不见森林。”

上面提到的所谓“深刻”,就是要求教师精深地理解所任课程中的每个概念的,甚至于概念中的每个关键字、每个定理,每个定理成立的条件和证明、每个推论、公式等。我们仍然举三大微分学中值定理之Rolle中值定理为例:Rolle中值定理内容叙述如下:

所以,老师在备课过程中要深刻地加以推敲,这样在讲课过程中才能运用自如,使学生能够充分理解基本概念、基本理论。

二、上课

上课要做到“目标明确,思路清晰,条理清楚。”

所谓“目标明确”,就是每一节课必须解决什么问题要非常明确,要引导学生朝哪个方向去。这一点要让学生明白。这才能使学生清楚这节课要学什么内容,为什么要学这个内容。而不至于使大部分学生一节课听下来非常的迷茫,不知道重点是什么,特别是具有抽象性的数学。例如:对于Lagrange中值定理的课堂教学,一开始对学生讲清楚这节课要解决的问题就是在前面学习Rolle中值定理的基础上把Rolle中值定理的第三个条件去掉,自然而然便引入了Lagrange中值定理及其应用。

所谓“思路清晰”,就是怎样有计划、有步骤的解决已设定的明确问题。比如可以通过把一个大问题分解成若干个子问题来解决,在备课的过程当中要有意识的创设问题情境,多提问,这样才能吸引学生的注意力。我们仍然举Lagrange中值定理的课堂教学,我们可以引导学生:罗尔定理中f(a)=f(b)这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制,如果我们去掉这个条件而只保留前两个条件,我们会得到什么样的结论呢?这样可以促使学生画图去猜想。另外,对于Lagrange中值定理的证明,也可以有步骤的引导学生:既然Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广,那么我们能不能用Rolle中值定理来证明Lagrange中值定理呢?这样一来又促使学生从已知条件去构造Rolle中值定理满足的条件,因此自然而然的就想到构造辅助函数:

这样一来,思路非常地清晰,学生顺理成章就接受了。所谓“条理清楚”,首先,讲解和板书的设计要做到有条有理。讲解的过程中要做到语言组织简洁、严密、逻辑性强、层次分明。其次,证明的书写过程要条理清楚,结构严密。最后,可以根据不同的课型需要设计不同的板书形式如条块顺序状、或左写知识重点,右写配套例题等。另外,板书的字迹书写要工整。如下例:

坚持不懈地做到这一点,才可以使学生真正理解数学的严密与简洁,使学生明白数学更是一门艺术。

教师的教学是一个日积月累、循序渐进、不断总结的过程。在每一次教学过程中,都有不同的感受和心得体会,教师必须善于及时地总结,这样才能不断地提高和完善自己的业务水平。

参考文献:

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