理论力学13—动能定理（完整）

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　vABC解：II 为AB杆的瞬心234AT Mv   sin lv22 21 112 2 3IlI ml m ml     22 221 12 6sin 3AB I ABmvT I mv     219 412T M m v  总例2

　均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45 o ，求该瞬时系统的动能。v IA   A ABT T T  总例6

　一长为l ， 质量密度为 ρ 的链条放置在光滑的水平桌面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。bb l 解得lb l gv) (2 22解:链条在初始及终了两状态的动能分别为01 T22 221lv T  在运动过程中所有的力所作的功为) (21) (21) ( ) (2 212b l g b l b l g b l gb W          由12 1 2W T T   

　例7

　 已知：

　m ，R,

　f ，  。求纯滚动时盘心的加速度。CF Nmgv C F解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下产生位移 s时速度达到v c 。s10 T 力的功：

　 sin12mgs W 由动能定理得：

　 sin 0432mgs mv C  2243Cmv T  sin32g a  解得：例17

　均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置 (与水平方向夹角为  )时的角速度为2cosC Cv vCP l 此时杆的动能为222 2)cos 311 (212121C C Cv m J mv T    初动能为零，此过程只有重力作功，由) sin 1 (2)cos 311 (2122  lmg v mC当  ＝0°时解出 gl v C 321lg 3 2 1 12T T W  PACv Cv A

　杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程，得(1)A Cmg F ma  21(2)2 12A ClF J ml    杆作平面运动，以A为基点，则C点的加速度为t nC A CA CA   a a a a沿铅垂方向投影，得t(3)2C CAla a   联立求解方程(1)~(3)，得14AF mg A Ca CmgF AA Ca C a nCA a Aa tCA